anton_lipovka (anton_lipovka) wrote,
anton_lipovka
anton_lipovka

Categories:

Квантование и эффект Ааронова-Бома.

Это немного расширенный комментарий, оставленный мной вот здесь:
https://ingener-vova.livejournal.com/2883.html#t4163

Позволю себе немного уточнить то, каким образом возникает квантование.

Известно, что в модели называемой «квантовая механика» (КМ), которая основана на постулировании волновых функций и постулировании величины постоянной Планка, квантование возникает из граничных условий (ГУ). Если нет ГУ, то дифференциальное уравнение само по себе не квантуется - это хорошо известный факт из теории Штурма-Лиувилля. В качестве примера возьмём атом водорода (см. Ландау Лифшиц том 3). Постулируется уравнение Шрёдингера (УШ), но атом начинает квантоваться (появляются дискретные уровни энергии) только тогда, когда к решению УШ применяем ГУ четвёртого типа (условие периодичности), т.е. только тогда, когда возникает задача Штурма-Лиувилля. В сущности это широко известная ситуация из классической механики. В самом деле, рассмотрим диф.уравнение второго порядка, один из операторов которого является лиувиллевским. Например уравнение теплопроводности, или диффузии. В этом случае при применении метода Фурье разделения переменных, однородное д.у. с оператором Лиувиля + однородные ГУ дают задачу Штурма-Лиувилля (привет уравнению Шрёдингера).

Пример – остывание бесконечного цилиндра. В этом случае задача имеет дискретный спектр собственных значений и радиальное распределение температуры (аналог волновой функции) описывается функцией Бесселя, что приводит к «стратификации» легирующих добавок. Иными словами, если мы сделаем заливку из стали в форме цилиндра и будем её как-то охлаждать с боков (налагаем ГУ), то при последующей обработке этой болванки на токарном станке мы с удивлением обнаружим, что содержание добавок зависит от радиуса и описывается функцией Бесселя. Экспериментально эту штуку обнаружил мой отец ещё в 60-х годах прошлого века.
Это один из многочисленных примеров возникновения квантования (дискретного спектра собственных значений задачи Ш-Л), возникающего в классической физике. Аналогия с КМ не то что большая, а абсолютно точная.

Таким образом квантование в КМ возникает ровно так же как и в классической физике – из граничных условий. Т.е. КМ – это просто постулированная задача Штурма-Лиувилля, в которой вместо физической величины (типа температуры, концентрации и т.д.) взяли с потолка некую функцию и назвали её волновой, не очень понимая чему она соответствует. Потом долго пытались найти ей интерпретацию, называя плотностью распределения вероятности, но в итоге только запутались.

Резюмируя эту часть: В ортодоксальной квантовой механике квантование получается из – за наложения ГУ на решения дифференциального уравнения имеющего лиувиллев оператор. Точно так же, как оно получается и в классической физике. Никаких тут чудес нет.

Чудеса начинаются тогда, когда мы пытаемся интепретировать уравнение Шрёдингера, т.е. искать объяснения тому, почему аппарат КМ работает.

Я неоднократно разбирал как, откуда появляется квантование в Природе. Понятно, что Природа ничего не знает про волновые функции, зато знает про ЭМ поле. Давайте ещё раз поговорим о том, что происходит в реальности. В общем-то почти то же самое (квантование появляется при наложении ГУ), только 1) с ЭМ полем и 2) без волновых функций. Пишем уравнения электродинамики на расширяющемся многообразии (метрический тензор адиабатически изменяется) и ставим ГУ, после чего ЭМ поле квантуется, чтобы удовлетворить поставленным ГУ. Подчеркну – квантуется естественным путём, а не по извращённой схеме Гупта-Блейлера. Ну а коли ЭМ поле квантовано, то атому деваться некуда – он тоже будет квантоваться и без волновых функций.

Пример – тот же атом водорода, где приходится ставить ГУ. ,Однако атом водорода достаточно тривиален, потому разберём такую красоту, как эффект Ааронова-Бома (А-Б). Рассмотрим его подробнее.

Как известно, необходимым условием существования А-Б эффекта является наличие в структуре уравнений т.н. потенциалов «нулевого поля», которые не могут быть обнулены калибровочными преобразованиями и которые не создают электромагнитных полей (см. Chirkov, A.G. and Ageev, A.N. (2001) On the Nature of the Aharonov-Bohm Effect. Technical Physics, 46, 147-153.
https://doi.org/10.1134/1.1349267 )

Чирков (мне повезло знать его лично, поскольку он вёл у нас семинары по КМ в течение одного семестра) пишет, что «эти нулевые потенциалы являются результатом нетривиальной топологии, имеющей место в области, где движется заряженная частица». Далее он отмечает, что сходная ситуация возникает в хорошо известной электродинамике анизотропных сред, когда структура ур-ний Максвелла не позволяет удовлетворить граничным условиям. Для того, чтобы удовлетворить ГУ в анизотропной среде, обычно вводят «нулевой потенциал», который не может создавать ЭМ поля (см. упомянутую работу Чиркова). Чирков вплотную подошёл к объяснению эффетка Ааронова-Бома, но ему не хватило последнего шага – указать на то, откуда берётся эта самая анизотропия пространства. Он, как и остальные полагал, что расширение Вселенной настолько незначительно для земных лабораторий, что им можно пренебречь. Поэтому он, как и все, работал в рамках мира Минковского – плоского, стационарного многообразия.

В случае же расширяющейся Вселенной, такая анизотропия возникает автоматически для любой движущейся частицы. В самом деле, частица начинала своё движение во вселенной с определённой кривизной, но по мере её движения Вселенная расширялась и когда частица прибыла в конечную точку, Вселенная имела уже другой радиус кривизны. Налицо та самая анизотропия. Да, изменения мизерны, разница почти нуль, но ведь мы и ищем очень малые эффекты (напомню, что постоянная Планка есть 6х10^(-27) десять в минус двадцать седьмой степени!)

Поэтому можно утверждать, что в случае А-Б эффекта мы имеем дело с анизотропией пространства и в этом случае роль «нулевых потенциалов» (которые не генерируют ЭМ поле) теряет свой мистический флёр, поскольку их роль играет изменяющаяся геометрия пространства приводящая к анизотропии.
Таким образом, когда мы пытаемся удовлетворить граничным условиям в такой анизотропной задаче, нам приходится вводить те самые «нулевые потенциалы» приводящие к анизотропии. Ну или явным образом учитывать расширение Вселенной, выписать полное уравнение и опять-таки требовать удовлетворения ГУ.

Таким образом, в правильной электродинамике (написанной для адиабатически расширяющейся Вселенной), квантование возникает ровно так же как и в ортодоксальной модели КМ, т.е. при наложении граничных условий.
Tags: physics, Физика, Физика для всех, наука, физика
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 26 comments